Equação modular

Utilizando a definição de módulo que diz:

| x | = x, se x for maior ou igual a zero.

| x | = – x, se x for menor que zero.

Podemos resolver equações modulares, uma vez que:

Se | x | = k, então x = k ou x = – k.

Exemplo 1. Resolva a equação | 2x – 5 | = 7.

Solução: Da definição de módulo, temos que:

2x – 5 = 7

2x = 7 + 5

2x = 12 

x = 6  

ou

2x – 5 = – 7

2x = – 7 + 5

2x = – 2

x = – 1

Portanto, S = {– 1, 6}

Exemplo 2. Resolva a equação |x² + 4x + 5| = 5

Solução: Temos que

x² + 4x + 5 = 5

x² + 4x + 5 – 5 = 0

x² + 4x = 0

x(x + 4) = 0

x = 0 ou x = – 4

ou

x² + 4x + 5 = – 5

x² + 4x + 5 + 5 = 0

x² + 4x + 10 = 0

Δ = 16 – 40 = – 24

Não possui solução real, pois Δ < 0

Portanto, S = {– 4, 0}

Exemplo 3. Determine o conjunto solução da equação:

| x |² – 8| x | – 9 = 0

Solução: Nesse caso, devemos fazer uma mudança de variável.

| x | = y

Substituindo na equação inicial, obtemos:

y² – 8y – 9 = 0

Δ = (– 8)2 – 4*1*(– 9) = 64 + 36 = 100

y = 9 ou y = – 1

Daí, temos que:

| x | = 9 → x = 9 ou x = – 9

| x | = – 1 → não faz sentido, uma vez que o módulo de um número é sempre um valor positivo.

Portanto, S = { - 9, 9}

Por Marcelo Rigonatto

Especial para o Banco de Concursos